limjunyoung
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第一题
首先角DAC=角DBC因为同弦的余角相等(弦DC)
那么Cos角DAC=Cos角DBC
C是中点,那么AC=BC
Cos角DAC=(AD^2+4-DC^2)/4AD
Cos角DBC=(BD^2+4-DC^2)/4BD
他们相等所以BD(AD^2+4-DC^2)=AD(BD^2+4-DC^2)
BD*AD(AD-BD)-4(AD-BD)+DC^2(AD-BD)=0
因为AD不等于BD(D不是中点),所以等式可以除以AD-BD
BD*AD-4+DC^2=0 DC^2=4-BD*AD
所以Cos角DAC=(AD^2+4-4+BD*AD)/4AD
=AD/4 +BD/4
=(AD+BD)/4
=根号6/4+根号2/4
没记错的话角DAC应该是15度
第二题就用a,b,c,d好了
那么a+bcd=b+acd=c+abd=d+abc=2
a+bcd=b+acd, a(1-cd)=b(1-cd)
要么cd=1或者a=b
a+bcd=c+abd,得到a=c或者bd=1
a+bcd=d+abc,得到a=d或者bc=1
b+acd=c+abd,得到b=c或者ad=1
b+acd=d+abc得到b=d或者ac=1
c+abd=d+abc得到c=d或者ab=1
那么首先我们要同时满足这些条件,那么如果a=b=c=d
a^3+a=2, (a^3-1)+(a-1)=0分解因式可以得到a=1 (另外2解不是实数)
如果a=b=c那么bc=1,ac=1,ab=1也就是a=b=c=正负1 (这类情况是有3个数相等)
此时若他们都为1,则d为1(和第一个情况是一样的)
如果a=b=c=-1,那么d=3
如果a=b不等于c,d(不考虑a=b=d,这类情况和之前的一样) (这类情况是只有2个数相等)
如果a=b,且有c=d那么bd=1,bc=1,ad=1,ac=1
会有a+c=2,ac=1,会得到(a-c)^2=0,那么a-c=0,a=c但是之前的假设是a=b不等于c,d
所以这类情况不存在
如果a=b不等于c,d. 且c不等于d, 则至少会有bd=bc=1,这时候会得到c=d矛盾.所以这类讨论也不可能
现在最后一组讨论就是a不等于b不等于c不等于d(这种情况是没有一个数相等)
但a<>b<>c<>d的情况下我们将得到cd=bd=bc=....=1.
那么里面反而会得到a=b=c=d的情况,所以最后一种情况也不存在
所以总共只有2个解
(1,1,1,1),或者(-1,-1,-1,3)
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