limjunyoung
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我用个比较死的办法..
周长是 2+3+4+5+6=20
设3边分别是a,b,c s=(a+b+c)/2=20/2=10
设面积是A, 则A^2=s(s-a)(s-b)(s-c)=
s(s^3-cs^2-as^2-bs^2+asc+bsc+abs-abc)
=10000+10(10ab+10ac+10bc-100(a+b+c)-abc)
=10000+10(10ab+10ac+10bc-2000-abc)
=10(10ab+10ac+10bc-abc)-10000
现在-10000和前面乘的10都不影响最大值得决定性
c=20-a-b
考虑f(a,b,c)=10ab+10(20-a-b)(a+b)-ab(20-a-b)
=10ab+10(20a-a^2-ab+20b-ab-b^2)-20ab+a^2*b+ab^2
=200a-10a^2+200b-30ab-10b^2+a^2*b+ab^2
=-a^2(10-b)+a(10-b)(20-b)+10b(20-b)
三角形2边大于第三边所以b<10 如果b是固定的 a=10-b/2的时候有最大值
最大f(b)=-(10-b/2)^2*(10-b)+10b(20-b)
=(100+b^2/4-10b)(10-b)+200b-10b^2
=-b^3/4+2.5b^2+1000
df/db=-3b^2/4+5b=b/4 *(-3b+20) b=20/3的时候有最大值
但b必然是整数.,所以考虑b=6和b=7的2个情况
b=6, a=(20-6)/2=7 c=7
我们可以选择6, 2+5, 3+4 此时A^2=10*(10-7)(10-7)(10-6)=360
b=7, a=(20-7)/2=6.5 根据对称性. 我们可以选择a=6或者7
无论哪个选择，都会给出7,7,6。 也就是和上面同样的组合
所以面积最大时，3边为6,7,7 最大面积是6根号10
或者直接用一般性的结论， 固定周长的三角形中， 等边三角形面积最大
[ 此贴被limjunyoung在2008-06-16 19:51重新编辑 ] |
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