limjunyoung
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复数的运用(偶尔也发点新东西..)
首先抱怨一下这个论坛..- -为什么一直出问题呢.....额..
复数是个比较重要的东西,也有广泛的运用,对于解题也有帮助
首先补充一下一些东西....这些可能有些地方的教材没有...至少我以前就没见过这个..-_-(我要投诉上海教材..)
任何复数z都可以表示成r(cosx+i*sinx)的形式,r是复数的模..x是俯角
同样这个等价于r*e^(ix) e是自然底数..(这个证明可以在大学中用泰勒公式展开证明)
由定理.[r(cosx+i*sinx)]^n=r^n*(cosnx+i*sin nx)=r^n*e^(i*nx)
那么首先有几个基本的性质...下面在例题中解释吧..
例1. 化简cosx+cos2x+cos3x+.....cosnx
这个题目相信国内普遍的做法都是乘以一个sin(x/2) 来用和差化积做..这个方法很巧妙,但是要第一次看见就想到有点困难..
那么我们知道根据定义 z=r(cosx+i*sinx)=re^(ix)
当r=1的时候, cosx是e^(ix)的实数部分...同样的道理cosnx是e^(i*nx)的实数部分
所以cosx+....cosnx就是e^(ix)+.....e^(i*nx)的实数部分
而e^(ix)+...e^(inx)是个等比数列.公比为e^(ix)
所以用公式就可以计算出和,然后只要取其中的实数部分就可以..
上面这个例子是复数在三角中的运用
同样的道理,在看一个例题..
计算 1+m*cos2x+....mCr*cos(2rx)+.....Cos(2mx)..其中mCr就是m个东西选出r个的数量(计算器上那个C 啦..)
可以看到.这个题目的技巧就比较少了..因为前面有了系数变变化.但同样可以用复数的方法来搞定
2Cos(2rx)=e^(i*2r)+e^(-i*2r)
所以原式就变成了
1/2 * [e^(2ix)+e^(-2ix)+....mCr*e^(i*2rx)+mCr* e^(-i*2rx)+....e^(i*2mx)+e^(-i*2mx)]
=1/2 *[e^(i2x)+..mCr*e^(i*2rx)+..e^(i*2mx) +e^(-i2x)+...mCr*e^(-i*2rx)+...e^(i*-2mx)] (重新整理)
=1/2 *{ [(1+e^(i*2x)]^m +[1+e^(-i*2x)]^m }
=1/2 *{[e^(ix)]^m * [e^(-ix)+e^(ix)]^m + [e^(-ix)]^m * [e^(ix)+e^(-ix)]^m } (分别提取e^ix和e^(-ix)
=1/2 * [e^(-ix)+e^(ix)]^m * { [e^(ix)]^m +[e^(-ix)]^m } 合并
=(2cosx)^m * cosmx (由定义e^(i*rx)+e^(-i*rx)=2cosrx)
=2^m*(cosx)^m *cosmx
上面2个是做题做到现在比较经典的...- -时间不够.所以没有用word打..对不起大家了..下次用word打..会看得清楚一些...
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