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求助一道最值问题

大家好！有哪位高手帮忙解：

已知x、y、z是正整数，且xyz=30，求3/x+8/y+16/z的最小值。

[楼主] 来自: | 发帖时间: 2008/04/13 23:07

starme

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因为30=1*2*15或1*1*30或1*3*10或1*5*6或2*3*5
只有最大分子对应最大分母的时候和最小（你试一下就知道了）
所以应该是：1*3*10或1*5*6为最小，值为109/15

对么？

[1 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/14 00:03

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答案是对的

[2 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/14 00:26

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[quote]下面是引用starme于2008-04-14 12:03 AM发表的 :

只有最大分子对应最大分母的时候和最小

为什么？能否证明？

[3 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/14 00:28

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如果30改为120，又应该怎么做？

[4 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/14 00:29

starme

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这个你做题多了自然有一些规律自己就看出来了，如果看不出来你自己把三个数代入，看看得到的结果哪个最小，自己就总结出来了。其实就是一种比较省事的方法呵呵

[5 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/14 00:30

starme

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4*3*10？

301/60？

[6 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/14 00:33

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能否证明？如果120改为更大的数呢？

[7 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/14 00:42

limjunyoung

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2楼说的是对的..用排序不等式可以推出

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[8 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/14 01:47

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8楼能否推一下?我们大家见识下!

[9 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/14 22:14

limjunyoung

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倒序和<=乱序和<=正序和
a1<=a2<=a3<=a4<=a5...<=an
b1<=b2<=b3<=b4<=...bn
a1bn+a2bn-1+...+anb1<=a1c1+a2c2+...ancn<=a1b1+a2b2+a3b3+...anbn
其中c1,c2,c3...cn是数列bn的一种排列

Sn=c1+c2+...cn
Tn=b1+b2+...bn 其中cn是数列bn的一个排列
又因为b1<=b2<=...<=bn
所以 Sk>=Tk (1<=k<=n) Sn=Tn
所以a1c1+a2c2+...ancn=a1S1+a2(S2-S1)+...an(Sn-Sn-1)
=S1(a1-a2)+S2(a2-a3)+...Sn-1(an-1 -an)+anSn
<=T1(a1-a2)+T2(a2-a3)+...Tn-1(an-1 -an)+anTn 因为Tk<=Sk且a1<=a2<=a3..<=an
=a1T1+a2(T2-T1)+....an(Tn-Tn-1)
=a1b1+a2b2+...anbn

现在a1(bn)+a2(bn-1)+....an(b1)=a1(Tn -Tn-1)+a2(Tn-1 -Tn-2)+....+an*T1
=a1Tn+Tn-1(a2-a1)+...+T1*(an-an-1)
<=a1Sn+Sn-1(a2-a1)+...+S1*(an-an-1) (因为Sk>=Tk, a1<=a2<=...<=an)
=a1(Sn-Sn-1)+a2(Sn-1- Sn-2)+....+an-1(S2-S1)+S1*an
=a1cn+a2cn-1+....an*c1
而因为c1,c2,c3..cn本身就是一种bn的任意排列
所以c1,c2,c3....cn和cn,cn-1,cn-2...c1可以理解为是一样的
综合以上有倒序和<=乱序和<=正序和
本题中a1=3,a2=8,a3=16
c1,c2,c3是1/x,1/y,1/z
当c1>=c2>=c3也就是x<=y<=z的时候构成了倒序和,所以最小

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[10 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/15 08:34

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一般解法非常复杂，主要是有三个元，至少要会解三次方程，最好对三次函数做一点研究，再其次因为是正整数，也需要尝试，当然，尝试是少量的．
但因为数字太小，一般解法总让人看不起，只要试几下就做出来了，谁会用一般解法？
可能会有适合的办法吧，
事实上，我很看重一般解法．．．．．
这里引个帖，希望看一下

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[11 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/17 03:11

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一元三次方程是型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型
其解法如下
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了

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[12 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/17 03:12

qbisicopsd

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费拉里发现的一元四次方程的解法

和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程
一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：
x4=px2+qx+r
关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数
a，我们有
(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以
解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x
的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。

最后，对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算)，这称为阿贝耳定理

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[13 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/17 03:17

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不好意思，怕繁，没有自己写，但都是一样的意思．

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[14 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/04/17 03:20


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