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文文文文欢

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简单作业谢谢

已知 n是大于一的自然数

求证:以n为底n+1的对数大于以n+1为底n+2的对数

人☆为什么没有翅膀？┅┅┅┅┅￡
┇ ∧ ┇ ∨ ┇ § 天天有个好心情§ ～～々～～〃～～∮～～

[楼主] 来自: | 发帖时间: 2008/03/3 09:01

limjunyoung

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方便书写我就把用lg(n+1)/lgn表示以n为底n+1的对数了
lg(n+1)/lgn -lg(n+2)/lg(n+1)=[(lg(n+1))^2 -lgn*lg(n+2)]/lgn*lg(n+1)
分母大于0
考虑分子 (lg(n+1))^2-lgn*lg(n+2)
lg(n+1)=A lgn=B lg(n+2)=C
A^2-BC=(4A^2-4BC)/4
而2lg(n+1)>lgn*lg(n+2)因为(n+1)^2>n*(n+2)
所以2A>B+C 因为A,B,C>0所以可以两边平方.
4A^2>(B+C)^2=B^2+C^2+2BC
4A^2-4BC=(B-C)^2>0
所以分子大于0..所以lg(n+1)/lgn =lg(n+2)/lg(n+1)

Slayers_Boxer LimYoHwan Fighting Forever!

[1 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/03/4 10:14

双重积分

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解法二:因为log(n+1)(n+2)与log(n)(n+1)的底数和真数均大于1,所以二者为正数,因此[log(n+1)(n+2)]/[log(n)(n+1)]=[log(n+1)(n+2)]*[log(n+1)n]<{[log(n+1)(n+2)]+[log(n+1)n]}^2/4 =[log(n+1)(n^2+2n)]^2/4<=[log(n+1)(n^2+2n+1)]^2/4=1,所以以n为底n+1的对数大于以n+1为底n+2的对数

选用商比的依据是欲较二数为均正,其中第一次放大是依据均值不等式,第二次放大是依据对数函数的单调性.

doubleintegral

[2 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/03/5 05:40

双重积分

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使用解法二中两放缩的式子可以简化二楼的朋友对差比中分子的判号过程.

doubleitnegral

[3 楼] 来自: | 发帖时间: 2008/03/5 05:46


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