limjunyoung
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1.LHS=ax^2+y^2-ay^2=y^2+a(x^2-y^2)
RHS=a^2x^2+b^2y^2+2abxy=a^2x^2+y^2+a^2y^2-2ay^2+2axy-2a^2xy
LHS-RHS=y^2+ax^2-ay^2-a^2x^2-y^2-a^2y^2+2ay^2-2axy+2a^2xy
=x^2(a-a^2)+y^2(a-a^2)-2xy(a-a^2)
=(a-a^2)(x^2+y^2-2xy)
因为a,b>0 a+b=1 所以0<a<1 所以a>a^2 而后面扩号里是完全平方.所以LHS-RHS>=0
2.设x1<x2 且 x1,x2 >0
f(x1)-f(x2)=1/(x1+√x1) - 1/(x2+√x2)
=(x2+√x2-x1-√x1)/((x1+√x1)(x2+√x2)
x2>x1 所以√x2>√x1 分子为正.. 分母肯定是正的
所以f(x1)-f(x2)>0 x1<x2 所以是减涵数
3.a/(a+m)+b/(c+m)-c/(c+m) =a/(a+m)+(b-c)/(c+m)
=(ac+am+ab+bm-ac-cm)/(a+m)(c+m)
=[m(a+b-c)+ab]/(a+m)(c+m)
因为三角形a+b>c 而a,b,c,m均为正
所以a/(a+m)+b/(c+m)-c/(c+m)>0
即a/(a+m)+b/(c+m)>c/(c+m)
4.三角不等式.
向量A,L分别代表任意三角形2边的向量.
并且同指向一个方向(就是同时指向上方或者下方)
A-L就代表了第三条边的向量.|A-L|是第三条边的长度
|A|-|L|是两边之差..由三角形的定义
两边之差小于第三边.(特别的,当A=L.取等号) 所以|A|-|L|<=|A-L|<1
5.LHS=1-1/(1+|a|+|b|
RHS=1-1/(1+|a+b|)
LHS-RHS=1/(1+|a+b|)-1/(1+|a|+|b|)
考虑分母大小.由于1是相同.所以考虑|a+b|和|a|+|b|的大小
同样是三角不等式.向量a,b这次画的方向是反向(就是一个向上一个向下)
那么a+b就是第三条边的向量.三角形第三边小于其余两边之和(特别的,当a,b共线,等号成立)
所以|a+b|<=|a|+|b|
所以1/(1+|a+b|)-1/(1+|a|+|b|)>=0
即LHS>=RHS
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