小飞象
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难题
三角形ABC,L,M,N是BC,CA,AB中点，Ｘ，Ｙ，Ｚ是任一点Ｐ在直线ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上射影。直线ＭＮ与ＹＺ，ＮＬ与ＺＸ，ＬＭ与ＸＹ交于Ｄ，Ｅ，Ｆ。证明１：三直线ＸＤ，ＹＥ，ＺＦ将汇于一点Ｓ
２：S是圆ＬＭＮ与圆ＸＹＺ的交点之一
第１题我已用ＣＥＶＡ定理＋面积法极其简洁地解决了，但未用到射影（即垂直）这个条件，
所以第２题肯定要用，希望高手挑战一下．
第一题证明：D,E,F是三角形XYZ三边上的点，所以ＸＤ，ＹＥ，ＺＦ共点等价于ＺＤ／ＹＤ＊ＹＦ／ＸＦ＊ＸＥ／ＺＥ＝—１，但Ｄ是ＭＮ与ＹＺ交点，故ＺＤ／ＹＤ＝ＺＭＮ／ＹＭＮ（ＺＭＮ表示有向三角形ＺＭＮ有向面积，ＺＤ等是有向线段，不考虑严密性可不管方向；此式是“共边定理”，用于“消去”Ｄ点）同理ＹＦ／ＸＦ＝ＹＭＬ／ＸＭＬ，ＸＥ／ＺＥ＝ＸＬＮ／ＺＬＮ，将后三式代入第一式，整理：ＺＭＮ／ＺＬＮ＊ＹＭＬ／ＹＭＮ＊ＸＬＮ／ＸＭＬ＝－１，注意中位线ＬＭ／／ＺＮ，故ＺＭＮ＝ＺＬＮ，同理ＹＭＬ＝ＹＭＮ，ＸＬＮ＝－ＸＭＬ，即得欲证
[ 此贴被傲雪狂娇在2007-07-16 08:46重新编辑 ] |
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