xukaijiexiao
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例3,对于直线l上任意点(x,y),点(4x+2y,x+3y)仍在直线l上,求直线l方程.
解题思路分析:
法一:用待定系数法这个常规方法比较困难,考虑从特殊情形着手.为了保证两点(x,y),(4x+2y,x+3y)同时在直线上,
令
解之得
可知直线l过原点,其方程特征为Ax+By=0(即常数项为0),下面再确定参数A,B.
∵ 点(4x+2y,x+3y)在直线上
∴ A(4x+2y)+B(x+3y)=0
∴ (4x+B)x+(2A+3B)y=0
设方程表示的直线其实就是直线Ax+By=0
∴
∴ 2A2-AB-B2=0
∴ A=B,或B=-2A
∴ 直线方程为x+y=0或x-2y=0
法二:若用待定系数法,只能选用两个参数
设l:y=kx+b
则 x+3y=k(4x+2y)+b
∴ x+3(kx+b)=4kx+2k(kx+b)+b
∴ (2k2+k-1)x+2(k-1)b=0
∵ x∈R
∴
∴ 或
∴ 直线l:x-2y=0,或x+y=0
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