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james

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帮帮忙（求更多解法）

如何证明任意三角形的：重心，垂心，外心在同一条直线上
（附过程，谢谢）

[ 此贴被james在2007-03-18 21:09重新编辑 ]

[楼主] 来自: | 发帖时间: 2007/02/24 23:13

james

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解析几何解法
已知有任意三角形ＡＢＣ
建立平面直角坐标系
设Ａ（０，０）　Ｂ（０，ａ）　Ｃ（ｂ，ｃ）
则重心Ｍ坐标：（(ａ＋ｂ)／３，ｃ／３）
ＡＢ上高线方程ｘ＝ｂ
ＡＣ上高线方程ｂｘ＋ｃｙ－ａｂ＝０
则垂心Ｈ坐标：（ｂ，(ａｂ－ｂ^２)／ｃ）
ＡＢ边中垂线方程ｘ＝ａ／２
ＡＣ边中垂线方程ｂｘ＋ｃｙ－（ｂ^２＋ｃ^２）／２＝０
则外心Ｉ坐标：（ａ／２，(ｂ^２＋ｃ^２－ａｂ)／２ｃ）
直线ＭＨ斜率
［ｃ／３－(ａｂ－ｂ^２)／ｃ］／［ａ＋ｂ)／３－ｂ］
＝（３ａｂ－３ｂ^２－ｃ^２）／（２ｂ－ａ）ｃ
直线ＨＩ斜率
［(ａｂ－ｂ^２)／ｃ－(ｂ^２＋ｃ^２－ａｂ)／２ｃ］／（ｂ－ａ／２）
＝（３ａｂ－３ｂ^２－ｃ^２）／（２ｂ－ａ）ｃ　
直线ＭＨ，直线ＨＩ斜率相同，则ＭＨＩ三点共线
对于（３ａｂ－３ｂ^２－ｃ^２）／（２ｂ－ａ）ｃ
A,当ｃ＝０时ＡＢＣ在一条直线上，不能构成三角形
B,当Ｃ≠０，且２ｂ＝ａ时，斜率不存在，但ＡＢＣ是等腰三角形
ＭＨＩ三点在这个等腰三角形的顶角平分线（底边高线）上

所以　任意三角形的重心，垂心，外心在同一条直线上

[ 此贴被james在2007-02-26 11:01重新编辑 ]

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财富:3(wajj)

[1 楼] 来自: | 发帖时间: 2007/02/24 23:30

james

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大家有没有思路？

[2 楼] 来自: | 发帖时间: 2007/03/3 21:16

meiyuhan

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用向量证或许可以

[3 楼] 来自: | 发帖时间: 2007/03/6 01:51

james

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再详细一点。。。

[4 楼] 来自: | 发帖时间: 2007/03/6 23:33

james

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没有人会么？

[5 楼] 来自: | 发帖时间: 2007/03/10 22:01

james

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大家来看看
帮帮忙，多谢！

[6 楼] 来自: | 发帖时间: 2007/03/18 21:11

james

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在顶一下。。。

[7 楼] 来自: | 发帖时间: 2007/04/7 22:18

wajj

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目前为止除了楼主所用的解析几何解法外还未找到更好的方法，先考虑下~~

开心的时候可以忘记我，共患难才是朋友，放心交给我。

[8 楼] 来自: | 发帖时间: 2007/05/3 02:21

青青的la

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大家来用向量解

挺酷的哦

[9 楼] 来自: | 发帖时间: 2007/05/21 03:04

james

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证明一下

[10 楼] 来自: | 发帖时间: 2007/05/23 12:05

james

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欧拉线的证明：
作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB，DC⊥BC
∵ CH⊥AB，AH⊥BC
∴ DA‖CH，DC‖AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点，O是BD的中点
∴ OM= DC
∴ OM= AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上

[11 楼] 来自: | 发帖时间: 2007/08/23 21:49


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